Realisten.com
Hovedsiden :: Forum :: Artikler :: Lenker :: Nøtter :: Om siden
Forumoversikt :: Hjelp :: Søk :: Logg inn :: Registrer ::
09.09. 2010 00:21 *
Velkommen, Gjest. Vennligst logg inn eller registrer deg.

Logg inn med brukernavn, passord og innloggingstid
 
Sider: [1]
« forrige neste »
  Skriv ut  
Skrevet av Emne: IMC - 2007 - Oppgave 9  (Lest 7193 ganger)
Magnus
Tallteoretiker!
Administrator
Abel
*****
Innlegg: 747


magnus@realisten.com
WWW E-post
« på: 19.09. 2007 21:28 »
La C være en ikke-tom lukket og begrenset delmengde av den reelle linje og f: C\to C være en ikke-synkende kontinuerlig funksjon. Vis at det eksisterer et punkt p\in C slik at f(p) = p. (En mengde er lukket hvis dens komplement er en union av åpne intervaller. En funksjon g er ikke-synkende hvis g(x) \leq g(y) \ \forall x\leq y).
« Siste redigering: 04.10. 2007 20:03 av MiF86 » Loggført
Realisten.com -admin
LES!!: http://realisten.com/smf/index.php?board=13.0
mizar
Gjest
« Svar #1 på: 30.09. 2007 04:30 »
Anta f(a)=f(b) for a,b\in~C. Hvis a og b er forskjellige er enten a<b eller a>b. Dette impliserer enten f(a)<f(b) eller f(a)>f(b). Selvmotsigelse. Dermed er a=b. Så f er injektiv. Hvilket betyr at \{x\in~C | f(x)=p\}=\{k\} for noen k\in~C. Anta p=f(k)\neq~f(p). Da er enten k<p eller k>p. Det impliserer at enten f(p)<p eller f(p)>p henholdsvis som gir p<f^{-1}(p)=k og p>f^{-1}(p)=k henholdsvis. Selvmotsigelse. Dermed er p=f(k)=f(p).
Loggført
Magnus
Tallteoretiker!
Administrator
Abel
*****
Innlegg: 747


magnus@realisten.com
WWW E-post
« Svar #2 på: 04.10. 2007 20:35 »
Ser riktig ut i mine øyne.
Loggført
Realisten.com -admin
LES!!: http://realisten.com/smf/index.php?board=13.0
simenru
Fersking
*
Innlegg: 4

simenru@math.uio.no
E-post
« Svar #3 på: 05.10. 2007 09:37 »
Sitat fra: mizar på 30.09. 2007 04:30
Anta f(a)=f(b) for a,b\in~C. Hvis a og b er forskjellige er enten a<b eller a>b. Dette impliserer enten f(a)<f(b) eller f(a)>f(b). Selvmotsigelse. Dermed er a=b. Så f er injektiv.

Beklager at jeg må si meg uening, men ta en kort pause her og forklar meg hvorfor en konstantfunksjon ikke tilfredsstiller hypotesene.

Så kan du la g være identitetsfunksjonen, se på f-g, og tenke over hva skjæringssetningen sier om denne.
Loggført
Magnus
Tallteoretiker!
Administrator
Abel
*****
Innlegg: 747


magnus@realisten.com
WWW E-post
« Svar #4 på: 05.10. 2007 13:15 »
Oi, leste voksende funksjon..
Loggført
Realisten.com -admin
LES!!: http://realisten.com/smf/index.php?board=13.0
Magnus
Tallteoretiker!
Administrator
Abel
*****
Innlegg: 747


magnus@realisten.com
WWW E-post
« Svar #5 på: 07.10. 2007 18:27 »
Nå,vel. Er vel trivielt for konstantfunksjonen da..
Loggført
Realisten.com -admin
LES!!: http://realisten.com/smf/index.php?board=13.0
ottem
Ramanujan
***
Innlegg: 36

christian_ottem
« Svar #6 på: 07.10. 2007 22:15 »
Joda, det er jo det. Men simenru pekte bare ut at argumentet ikke holder for å vise at funksjonen er injektiv, noe den ikke trenger å være heller.. Bristen i beviset er at a<b ikke impliserer enten f(a)<f(b) eller f(a)>f(b) som gir motsigelsene.

Her er min løsning:

Anta f(x)>x \forall x\in C. Definer følgen x_0=\inf C,\qquad x_{n}=f(x_{n-1}) n\geq 1 . Per antagelse er (x_n) voksende, og begrenset av C. Siden C er lukket fins en p=\lim x_n = \lim f(x_n), og følgelig er f(p)=p.
Loggført
Sider: [1]
  Skriv ut  
« forrige neste »
 
Gå til:  

Bygget på MySQL Bygget på PHP Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 godkjent! CSS godkjent!
Siden ble generert på 0.299 sekunder med 18 spørringer.