Realisten.com - nøtter

Gamle nøtter

2006-10-16

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner:

Grunnet oppdateringer på nøttefronten blir vi nøttefri denne uka.

Fasit: Klikk her

2006-10-09

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Christian Ottem

I en rettvinklet trekant er høyden på hypotenusen 12, og omkretsen 60. Hva er lengden til hypotenusen?

Siden fortsatt ingen har klart forrige ukes hovednøtt, velger vi å ha denne som ektstranøtt igjen! (Vanskelighetsgrad 7:)

Vis at hvis n er odd, og større en 3. Da kan ikke $4^n + 1\over 5$ være et primtall.

Fasit: Klikk her

2006-09-25

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Christian Ottem

Hvis $p \geq 5$ er et primtall. Vis da at $p^2 + 2$ ikke er et primtall.

Fasit: Klikk her

2006-09-18

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

La x og y være positive hele tall. Den minste mulige verdi av $|11x^5 - 7y^3|$ er da?

Fasit: Klikk her

2006-09-11

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Geir Bogfjellmo

Hardhausen (vanskelighetsgrad 9):
Vis at hvis $a^3 + b^3$ er et kvadrattall, så kan ikke a+b være produktet av to ulike primtall.

Ekstranøtt for barna:
Hva er siste siffer i $17^{1996}$ ?

Fasit: Klikk her

2006-09-04

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Christian Ottem

På alle de seks sidene til en kube skrives det et positivt heltall. For hvert av de åtte hjørnene beregner vi produktet av tallene på de tre tilstøtende sidene. Summen av disse åtte produktene er 1001. Hva er summen av de seks tallene på kubesidene?

Fasit: Klikk her

2006-08-28

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Nabil Malik

Gitt en rettvinklet trekant, der katetene har lengde a og b, og hypotenusen har lengde c.

Vis da at
$a^{2001} + b^{2001} < c^{2001}$

Fasit: Klikk her

2006-08-21

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon Karlsen

Bestem alle heltallsløsninger til likningen $(x+y^2)(x^2+y) = (x+y)^3$ .

Fasit: Klikk her

2006-06-12

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Christian Bjartli

I en rettvinklet trekant betegner a og b lengdene av katetene. En sirkel med raius r har sentrum på hypotenusen og berører begge katetene.
Vis at:
$\frac {1}{a} + \frac {1}{b} = \frac {1}{r}$

Fasit: Klikk her

2006-06-05

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon Karlsen

Gitt at vi har:
$t = a^2 + b^2$
hvor t, a og b er hele tall.

Vis at det da også må finnes to hele tall x og y som er slik at:
$2t = x^2 + y^2$

Fasit: Klikk her

2006-05-29

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Lasse Thorvaldsen

Bestem alle talltripler (x,y,z) som oppfyller følgende likningssystem:

xy = z
xz = y
yz = x

Fasit: Klikk her

2006-05-22

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

Hei brukere av realisten.com.
Denne uken skal vi prøve en litt alternativ nøtt. Denne går ut på RSA-koding, og selve nøtten i seg selv er ikke spesielt vanskelig. Hvis dere legger litt tid i det er jeg ganske sikker på at dere greier å finne ut "nøkkelen".

Uansett; den informasjonen dere får er at vi har to primtall p og q, hvis produkt er n.

n = pq = 5671

Krypteringseksponenten e = 7

Kryptogramet c = 889

Hvilket tall er dekryptert?

Hint

Fasit: Klikk her

2006-05-15

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Johan Steen

$f(x) + x\cdot f(1-x) = x$

Finn et generelt uttrykk for f(x).

Fasit: Klikk her

2006-05-08

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon Karlsen

$f(x) + x\cdot f(1-x) = x$

Bestem f(2).

Bonusnøtt:
Finn et generelt uttrykk for f(x).

Fasit: Klikk her

2006-05-01

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon Karlsen

Hvis a og b er naturlige tall og a + b + ab = 54,
så er a + b lik?

Bonusspørsmål for de ivrige:
Vis/motbevis "Goldbach's conjecture."

Fasit: Klikk her

2006-04-24

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon Karlsen

Vis at:

$n|1^5 + 3^5 + 5^5 +...+(2n-1)^5$

Fasit: Klikk her

2006-04-16

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Tor Eirik Bleie

Hvis x og y er positive heltall >0, slik at
13x + 4y = 100
Hva er så x+y lik?

Fasit: Klikk her

2006-04-02

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

En arbeidsgiver har en gullbar som kan knekkes i syv biter. Han har også en arbeider som skal få lønn hver dag i en uke. Hvordan kan arbeidsgiveren knekke gullbaren slik at dette blir oppfylt når han bare kan knekke gullbaren to ganger?

Fasit: Klikk her

2006-03-27

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Paul Kjetel Soldal Lillemoen

Finn en positiv konstant k, så likningen:
$xy^2-y^2-x+y=k$
har nøyaktig tre løsninger (x,y) i positive heltall.

Fasit: Klikk her

2006-03-20

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Jon A. Karlsen

Hvis n > 6, n+1 og n-1 er primtall. Vis at $n^2(n^2+16)$ da er delelig med 720.

Fasit: Klikk her

2006-03-13

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

Et sylindrisk hull av lengde 6 bores gjennom senteret av en massiv kule. Hva er volumet av den gjenværende del av kula?

Fasit: Klikk her

2006-03-06

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Gerhard Henning Olsen

Merk at en triell er det samme som en duell, bare med tre personer.

Vi har tre deltakere:
- Ridder svart
- Ridder blå
- Ridder hvit

En dag bestemmer de seg for å triellere med pistoler til bare en overlever.
P(ridder svart treffer) = $1\over 3$
P(ridder blå treffer) = $2\over 3$
P(ridder hvit treffer) = 1

For at triellen skal være mest rettferdig får ridder svart skyte først, deretter ridder blå og til slutt ridder hvit.

Hvor bør ridder svart sikte med sitt første skudd?
Begrunn svaret!

Har du løsningsforslag kan disse sendes til magnus@botnan.net

Fasit: Klikk her

2006-02-27

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

Gitt ligningssettene:
$x^3 + y^3 + z^3 = x + y + z$
$x^2 + y^2 + z^2 = xyz$
Finn alle reelle positive verdier > 0 som tilfredsstiller disse ligningene.

Fasit: Klikk her

2006-02-03

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

Gitt funksjonen:
$f(x) = x^2 + 6x + c$ , hvor c er en heltallskonstant.
Vis at f(0) + f(-1) alltid er et oddetall.

Fasit: Klikk her

2006-01-27

Vanskelighetsgrad: oooooooooo

Vinner: Ingen

Løs følgende ligningssett uten bruk av lommeregner!
$2\cdot 2^{2x} = 4^x + 64$

Fasit: Klikk her