Realisten.com - artikkel

Greens teorem i planet:
La P og Q være kontinuerlig differensierbare skalarfelt på en åpen mengde S i xy-planet. La C være en stykkevis glatt Jordankurve og la R være unionen av C og kurvens indre. Anta at R er en undermengde av S. Da gjelder identiteten
$\int \int _R({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy=\oint _CPdx+Qdy$
hvor linjeintegralet er utført i positiv omløpsretning.

Bevis for områder av formen $R={(x,y)|a\leq x\leq b$ og $f(x)\leq y\leq g(x)}$ hvor $f$ og $g$ er kontinuerlige på $[a,b]$ :
$-\int \int _R{\partial P\over \partial y}dxdy=-\int _a^b[\int{f(x)}^{g(y)}{\partial P\over \partial y}dy]dx=\int _a^b[\int _{g(x)}^{f(x)}{\partial P\over \partial y}dy]dx=\int _a^bP[x,f(x)]dx-\int ^_a^bP[x,g(x)]dx$
$\int _CPdx=\int _C _1Pdx+\int _C _2Pdx$ siden linjeintegralet langs de vertikale segmentene er 0.
For å evaluere integralet langs $C _1$ brukes vektorrepresentasjonen $\vec \alpha (t)=t\vec i + f(t)\vec j$ og får
$\int C _1Pdx=\int _a^bP[t,f(t)]dt$ .

For å evaluere integralet langs $C _2$ brukes vektorrepresentasjonen $\vec \alpha (t)=t\vec i + g(t)\vec j$ og får
$\int C _2Pdx=-\int _a^bP[t,g(t)]dt$ .
Dermed blir
$\int _CPdx=\int _a^bP[t,f(t)]dt-\int _a^bP[t,g(t)]dt$
Dermed fås
$-\int \int _R{\partial P\over \partial y}dxdy=\oint _CPdx$
der linjeintegralet er utført i positiv omløpsretning.
Tilsvarende gjøres for Q. Teoremet er dermed bevist for det spesielle området.
Akkurat samme fremgangsmåte kan brukes for områder av typen. $T={(x,y)|c\leq y\leq d$ og $h(y)\leq x\leq k(y)}$ hvor $h$ og $k$ er kontinuerlige på $[c,d]$ .
Ved å kombinere disse bevisene er teoremet bevist for generelle områder.

Greens teorem for multipelt sammenhengende områder:
La $C _1,...,C _n$ være $n$ stykkevis glatte Jordankurver med følgende egenskaper:

(a) Ingen av kurvene skjærer hverandre.

(b) Kurvene $C _2,..., C _n$ ligger alle i det indre til $C _1$

(c) Kurven $C _i$ ligger i det ytre til kurven $C _j$ for alle $i\neq j, i>1, j>1$ .

La R være området som består av unionen av $C _1$ med den delen av det indre av $C _1$ som ikke ligger innenfor noen av kurvene $C _2,...,C _n$ . La P og Q være kontinuerlig differensierbare skalarfelt i en åpen mengde S om inneholder R. Da gjelder følgende identitet:

${\int \int _R (({\partial Q\over \partial x}})-({\partial P\over \partial y}))dxdy=\oint _C _1 (Pdx+Qdy)-\sum _{k=2}^n \oint _C _k (Pdx+Qdy)$ .
Linjeintegralene utføres i positiv omløpsretning.

Teoremet kan bevises ved å anvende Greens teorem i planet på hver del separat.

Greens teorem

Kommentarer

Skriv