Realisten.com - artikkel

Matematisk induksjon er en meget sterk bevisform innenfor matematikken. I mange tilfeller veldig enkel å anvende i forhold til andre metoder.

Før vi går løs på noen eksempeloppgaver, er det viktig å vite hva matematisk induksjon faktisk er.

Ofte når man skal gjøre bevis, støter man på teoremer som: "For hvert positive heltall n må setningen P(n) være sann". Det er på slike oppgaver man lett kan anvende matematisk induksjon.

P(n) er navnet på en setning eller noe annet som inneholder heltallige variabler, n. Med induksjon beviser vi først at setningen er sann for 1, hvis det er sant for 1, antar vi at det er sant for n, og sjekker om det er sant for n+1. Er det sant for n+1 stemmer setnignen.

Et eksempel kan være:

"Summen av heltall fra 1 til n er n(n+1)/2."

Først sjekker vi om denne setningen stemmer for n=1.

$\frac {n*(n+1)}{2} = \frac {1*2}{2} = 1$

Hvilket stemmer.

Så antar vi at det er sant for n.

$\frac {n(n+1)}{2} = sann$

og tester om det er sant for n+1.

$\frac {(n+1)(n+2)}{2} = \frac {n^2 + n + 2n + 2}{2} = {\frac {n(n+1){+}} 2 {\frac {2(n+1)}{2}}$

$\frac {n(n+1)}{2} + n+1$

Vi vet fra før at $\frac {n(n+1)}{2}$ er summen av de n første heltallene. Vi får nå summen av de n første heltallene pluss det n+1'te tallet. Dette må da bli summen av de n+1 første heltallene.

Setningen er sann.

Induksjonsbeviset kan ses på som en rekke av dominobrikker, faller den første og den n'te. Ja da faller alle ;)

Matematisk induksjon

Kommentarer

Skriv